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(精校版)2017年新课标Ⅱ�数高考试题文档版(�答案)

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�密★�用�

                       2017  年普通高等学校招生全国统一考试

                                        �科数学

注�事项:

    1.答题�,考生先将自己的姓��准考��填写清楚,将�形�准确粘贴在�形�区域内。

    2.选择题必须使用       2B 铅笔填涂;�选择题必须使用             0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔

迹清楚

    3.请按照题�顺�在答题��题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在�稿纸�试

�上答题无效

    4.作图�先使用铅笔画出,确定�必须用黑色字迹的签字笔�黑。

    5.����清�,��折����弄破�弄皱,�准使用涂改液�修正带�刮纸刀


一�选择题:本题共         12 �题,��题      5 分,共   60 分。在��题给出的四个选项中,�有一项是符�题目
�求的。
  3 i
1.      (   )
  1 i
A�1   2i            B�1 2i             C� 2  i                  D� 2  i
2.设集�   A  �1,2,4�, �  �x x2  4x  m  0��若 A � �  �1�,则 �  (   )

A��1,3�                B��1,0�                C��1,3�            D��1,5�

3.我国�代数学�著《算法统宗》中有如下问题:“远望��塔七层,红光点点�加�,共�三百八�一,
请问尖头几��?���是:一座               7 层塔共挂了     381 ��,且相邻两层中的下一层�数是上一层�数的
2 �,则塔的顶层共有�(             )
A�1  �                B�3  �             C�5  �                 D�9  �
4.如图,网格纸上�正方形的边长为               1,学    科&网粗�线画出的是�几何体的三视图,该几何体由一平�
将一圆柱截�一部分所得,则该几何体的体积为(                        )
A�  90�               B� 63�               C� 42�                       D� 36�
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                      2x  3y  3  0
                      
5.设 x , y 满足约��件      2x  3y  3  0 ,则 z  2x  y 的最�值是(     )
                      
                      y  3  0
A�  15               B� 9                  C�1                    D�  9
6.安�  3 �志愿者完�      4 项工作,�人至少完�         1 项,�项工作由       1 人完�,则��的安�方�共有(   
)
A�12  �                     B�18 �                C�24  �              D�36  �
7.甲�乙�丙��四��学一起���师询问�语�赛的�绩��师说:你们四人中有                                   2 �优秀,2    �良
好,我�在给甲看乙�丙的�绩,给乙看丙的�绩,学                        科&网给�看甲的�绩�看�甲对大家说:我还是
�知�我的�绩�根�以上信�,则(                   )
A�乙�以知�四人的�绩                                   B���以知�四人的�绩
C�乙���以知�对方的�绩                                D�乙���以知�自己的�绩
8.执行��的程�框图,如�输入的              a  1,则输出的     S  (    )
A�2                    B�3                C�4                    D�5


              2    2
             x    y                                          2
9.若�曲线    C :      1(  a  0 , b  0 )的一��近线被圆       x  2  y2  4 所截得的弦长为     2,则
             a2   b2
 C 的离心�为(        )

                                                                              2  3
A�2                      B�   3                 C�  2                      D�
                                                                                3

                                            �
10.已知直三棱柱      A�C   A1�1C1 中, �A�C   120 ,  A�  2 , �C  CC1 1,则异�直线       A�1 �


 �C1 所�角的余弦值为(           )

      3                          15                     10                     3
A�                           B�                     C�                    D�
     2                           5                      5                     3

11.若 x  2 是函数   f (x)  (x2  ax 1)ex1` 的�值点,则 f (x) 的��值为(      )

A. 1                    B. 2e3                     C. 5e3                    D.1
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                                                           ���� ���� ����
12.已知  �ABC  是边长为    2 的等边三角形,P       为平�   ABC  内一点,则     PA(PB   PC) 的最�值是(        )
                            3                      4
A. 2                    B.                    C.                       D. 1
                            2                      3
二�填空题:本题共         4 �题,��题      5 分,共   20 分。
13.一批产�的二等��为          0.02 ,�这批产�中�次�机�一件,有放�地抽�100                    次,  � 表示抽到的二
等�件数,则      D�             �
                              3         � 
14.函数   f x sin2 x  3 cos x  ( x � 0,  )的最大值是               �
                              4        2 

                                                   n  1
   等差数列        的�    项和为     ,       ,        ,则                   �
15.        �an�    n       Sn   a3  3 S4 10                     
                                                  k 1 Sk

16.已知  F 是抛物线    C : y2  8x 的焦点,  � 是 C 上一点,    F�  的延长线交     y 轴�点   � �若  �  为 F� 的中

点,则    F�               �


三�解答题:共        70 分。解答应写出文字说��解答过程或演算步骤。第                     17~21 题为必�题,�个试题考
生都必须作答。第         22�23 题为选考题,考生根��求作答。
(一)必考题:共         60 分。
17.(12 分)
                                                          B
 �ABC  的内角   A, B,C 的对边分别为     a,b,c  ,已知 sin(A  C)  8sin2 �
                                                          2
(1)求 cos B  
(2)若 a  c  6  , �ABC �积为 2,求 b. 

18.(12 分)
淡水养殖场进行�水产�的新�旧网箱养殖方法的产�对比学|科网,收�时��机抽�了                                     100   个网箱,
测��箱水产�的产�(��:kg)�频�直方图如下:


(1)    设两�养殖方法的箱产�相互独立,记                 A 表示事件:旧养殖法的箱产���              50kg,  新养殖法的箱
       产����     50kg,估计  A 的概�;
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(2)    填写下�列�表,并根�列�表判断是�有                   99%的把�认为箱产��养殖方法有关:

                                    箱产�<50kg                    箱产�≥50kg
       旧养殖法
       新养殖法

(3)    根�箱产�的频�分布直方图,求新养殖法箱产�的中�数的估计值(精确到                                 0.01)

          2
      P(� ≥ �)                0.050                  0.010                  0.001
           k                    3.841                  6.635                  10.828

             n(ad  bc)2
 K 2                            
      (a  b)(c  d)(a  c)(b  d)

19.(12 分)
如图,四棱锥       P-ABCD 中,侧�    PAD  为等比三角形且�直�底�           ABCD,
           1
 AB  BC    AD,�BAD     �ABC   90o ,  E 是 PD 的中点.
           2
(1)��:直线       CE  / /  平� PAB

(2)点    M 在棱  PC  上,且直线     BM �底�    ABCD 所��角为     45o  ,求二�角     M-AB-D 的余弦值


         
20. (12 分)

                                 x2
设  O 为�标�点,动点        M 在椭圆   C:      y2 1上,过   M � x 轴的�线,�足为        N,点   P 满足
                                 2
 ����    �����
 NP    2 NM .

(1) 求点  P 的轨迹方程;
                           ���� ����
(2) 设点  Q 在直线   x=-3 上,且   OP  PQ 1.��:过点     P 且�直�    OQ 的直线   l 过 C 的左焦点    F. 

21.(12 分)

已知函数     f (x)  ax3  ax  x ln x, 且 f (x)  0 .

(1)求    a;
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                                         2          3
(2)��:      f (x) 存在唯一的�大值点       x0 ,且 e   f (x0 )  2 .

(二)选考题:共         10 分。请考生在第      22�23 题中任选一题作答。如�多�,按所�的第一题计分。
22.[选修  4-4:�标系��数方程](10         分)

  在直角�标系       xOy 中,以�标�点为�点,x          轴的正�轴为�轴建立��标系,曲线                C1 的��标方程为

 � cos�  4 �


(1)M   为曲线    C1 上的动点,点     P 在线段   OM  上,且满足|    OM  | | OP |16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角�标

方程;
                        �
(2)设点     A 的��标为    (2,  ) ,点 B 在曲线   C  上,求   �OAB  �积的最大值�
                        3                2
23.[选修  4-5:�等�选讲](10      分)

已知   a  0,b  0,a3  b3  2 ,��:

(1)   (a  b)(a3  b3 )  4 ;

(2)   a  b  2 �
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                       2017  年普通高等学校招生全国统一考试

                                   �科数学试题答案

一�选择题

  1.D    2.C    3.B     4.B      5.A       6.D

  7.D    8.B    9.A     10.C     11.A      12.B

二�填空题
                                  2n
13. 1.96        14. 1        15.            16. 6
                                 n 1
三�解答题

17.解:
                                        �
(1)由题设�       A  B  C  �得sin B  8sin2 ,故
                                        2
          sin B  (4 1-cosB)

上�两边平方,整�得 17cos2B-32cosB+15=0
                             15
解得    cosB=1(��),c=osB
                             17
             15           8            1          4
(2)由    cosB=   得sin B     ,故  S       acsin B   ac
             17          17      �ABC  2          17
                   17
�  S    =2,则ac   
    �ABC           2
由余弦定�学       科&网�    a  c  6 得

 b2  a2  c2  2ac cos B
 (a+c)2  2ac(1 cosB)
         17      15
  36  2  (1   )
          2      17
  4

所以   b=2

18.解:

(1)记    B 表示事件“旧养殖法的箱产���             50kg � , C 表示事件“新养殖法的箱产����              50kg � 

由题�知       PA PBC  PBPC

旧养殖法的箱产���          50kg 的频�为
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(0).040  0.034  0.024  0.014  0.012  5=0.62
故  PB的估计值为      0.62

新养殖法的箱产����           50kg 的频�为

            (0).068  0.046  0.010  0.008  5=0.66
故  PC的估计值为      0.66

因此,事件      A 的概�估计值为      0.62 0.66  0.4092
(2)根�箱产�的频�分布直方图得列�表

                                    箱产�    50kg           箱产�≥    50kg

                 旧养殖法                    62                     38
                 新养殖法                    34                     66

                 200 62 66  34 382
             K 2                     15.705
                    100ï‚´100ï‚´ 96ï‚´104
             由�15.705  6.635
             故有  99% 的把�认为箱产��养殖方法有关�

        (3)因为新养殖法的箱产�频�分布直方图中,箱产���                         50kg 的直方图�积为

         0.004  0.020  0.044 5  0.34  0.5 ,

        箱产���     55kg 的直方图�积为

         0.004  0.020  0.044+0.068 5  0.68  0.5

        故新养殖法箱产�的中�数的估计值为
                 0.5-0.34
             50+        ≈5 2.3(5 k)g �
                  0.068
   19.解:

  (1)�    PA 中点  F ,�结   EF , BF �
                                          1                                           1
      因为   E 为 PD 的中点,所以      EF A AD , EF = AD ,由 �BAD  �ABC  90 得 BC∥AD ,�  BC   AD
                                          2                                           2

      所以   EF ∥BC �四边形     BCEF 为平行四边形,        CE∥BF  �

      �  BF  平�PAB  ,  CE  平�PAB  ,故  CE ∥平�PAB
  (2)
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                                   ����                   ����
  由已知得     BA � AD ,以 A 为�标�点,     AB 的方�为    x 轴正方�,     AB  为��长,建立如图所示的空间直

角�标系     A-xyz,则

      则  A(0,0, 0) , B(1,0, 0) , C(1,1,0) , P(0,1,  3) ,

       ����         ����
       PC  (1,0 , 3) , AB  (1,0 ,0) 则

       �����          �����
       BM  (x1,y,,z),, PM  (x y 1 z  3)

      因为   BM �底�    ABCD 所�的角为      45°,而  n  (0,0 ,1) 是底� ABCD 的法��,所以

           �����                 z          2
       cos BM ,n  sin 450 ,             
                            (x1)2  y2  z2 2

      �(x-1)²+y²-z²=0
                               ����� ����
      �  M 在棱  PC 上,学|科网设      PM  �PC,则

       x  �, y 1, z  3  3�

                        2                  2
                x=1+                x=1-
                        2                  2
                                    
                y=1        ( ��),=y1
      由①,②得                         
                           6                 6
                z                 z 
                        2               2


          2     6       �����    2    6 
所以   M 1-   , 1,  ,�而   AM   1-   , 1, 
                                        
          2    2                2     2 

设               是平�        的法��,则
   m = x0, y0, z0   ABM

     �����
                2- 2  x   2y     6z   0
 mAAM     0         0     0       0
    ����    �  
 mAAB    0    
               x0  0
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                                         mAn     10
所以��     m=(0,-   6 ,2).�是   cos m, n        
                                         m n     5

                              10
因此二�角      M-AB-D 的余弦值为
                              5
20.解
                                      ����           �����
(  )设    (   )   (     ) 设   (    )
  1     P  x,y ,M  x0,y0 ,  N  x0,0 , NP  x  x0, y, NM  0, y0 

   ����   �����            2
由  NP   2NM  得 x =x, y     y
                 0    0    2

                           x2  y2
因为   M(x0,y0)在   C 上,所以           1
                           2    2

因此点    P 的轨迹方程为     x2  y2  2

(2)由题�知       F(-1,0).设  Q(-3,t),P(m,n),则
 ����        ����             ���� ����
 OQ  3,t , PF  1  m, n, OQAPF  3  3m  tn ,
 ����       ����
 OP  m, n, PQ  3  m, t  n,
   ���� ����
由  OPAPQ  1得  - 3m  m2  tn  n2  1,�由(1)知  m2 +n2 =2 ,故

3+3m-tn=0
     ���� ����     ���� ����
所以   OQAPF  0,�   OQ �  PF .学.科网�过点     P 存在唯一直线�直�        OQ,所以过点      P 且�直�    OQ 的直

线  l 过 C 的左焦点   F.

21.解:

(1)   f x的定义域为    0,+

设  g x = ax - a - lnx ,则 f x = xg x, f x  0 等价� g x  0

                                           1
因为   g 1=0,g0,故x1=0, 而,g'  1 = g1',得x1 a  g'   a  a 
                                           x
                     1
若  a=1,则  g' x = 1  .当 0<x<1 时,   g' x<0, g x�调递�;当   x�1  时,  g' x�0, g x�调递
                     x

�.所以   x=1 是 g x 的��值点,故      g x  g 1=0

综上,a=1

(2)由(1)知f       x   x 2  x  x l n x, f ' ( x)  2x  2  l n x

                                   1
设  h x   2x  2  l n x, 则'h( )x 2 
                                   x
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        1                       1                              1
当  x � 0,  时, h ' x <0;当 x �  , + 时, h ' x �0,所以 h x 在 0,  �调递�,在
        2                       2                              2
  1   
  , + �调递�
  2   

      2      1                          1                1    
�  h e �0, h   <0,h 1  0,所以 h x 在 0,  有唯一零点  x0,在   , + 有唯一零点    1,且当
              2                          2                2    

          时,       �  ;当           时,       <  ,当            时,      �
 x � 0, x0  h x  0    x � x0, 1  h x  0    x � 1, +   h x  0.

因为f   ' x   h x ,所以 x=x0 是 f(x)的唯一�大值点

ç”±           å¾—                æ•…
   f ' x0   0 l n x0  2( x0 1) , =f (x10  x0)  x0

                      1
由          得        <
   x0 � 0, 1 f ' x0 
                      4

                                     1            1
因为   x=x0 是 f(x)在(0,1)的最大值点,由e         � 0, 1, f ' e   0得

      �    1    2
 f x0  f e   e

所以    2<<       - 2
     e   f 2x0 

22.解:

                      ,�                          ,�
(1)设    P 的��标为    �   � 0�  ,M  的��标为     �1  � 0�1  ,由题设知

                      4
 OP  =�,O=M   =  �
                  1  cos�

                                             �
由  OM  AOP   = 16 得C2 的��标方程      �=4cos�  �  0

                              2    2
因此C2   的直角�标方程为        x  2   y    4 x  0

                         ,�
(2)设点     B 的��标为     �B  � 0�B  ,由题设知

       ,
 OA  =2  �=4B cos� ,�是△OAB   �积

    1
 S=   OAA�  Asi n �AOB
    2      B
                     � 
   4 cos �Asi n �    
                     3 
               �      3
   2 si n 2�    
                3    2
  2    3
                         中国�代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交�平�

       �
当�=-     时,S  �得最大值     2+ 3
      12

所以△OAB    �积的最大值为       2+ 3

23.解:

(1)

 a   ba5   b5   a6   ab5   a5b   b6
                                 2
                      a3   b3    2a3b3   ab a4   b4 
                                       2
                     4  ab a2   b2 
                    4

(2)因为

        3
 a  b    a3  3a2b   3ab2   b3
                    2  3ab a+b
                              2                      3
                       3 a+b                3 a+b
                   2+          a+b   2 
                           4                     4

          3
所以   a+b   8 ,因此   a+b≤2.


 
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