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2017_2018版高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修2_1

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                          2 充分条件与必要条件

学习目标     1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分
条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证
明.


知识点一 充分条件与必要条件

“若  p,则  q”形式的命题为真命题是指:由条件                p 可以得到结论      q,通常记作:p⇒q,读
作“p  推出  q”.此时我们称       p 是 q 的________条件,同时,我们称         q 是 p 的______条件.

若 p⇒q,但   q⇏p,称   p 是 q 的__________条件,若    q⇒p,但   p⇏q,称   p 是 q 的________条
件.

知识点二 充要条件
思考 在△ABC     中,角   A、B、C  为它的三个内角,则“A、B、C            成等差数列”是“B=
60°”的什么条件?


梳理 (1)一般地,如果既有           p⇒q,又有   q⇒p,就记作     p⇔q,此时,我们说,p         是  q 的
__________条件,简称充要条件.
(2)充要条件的实质是原命题“若            p,则   q”和其逆命题“若        q,则  p”均为真命题,如果

p 是 q 的充要条件,那么       q 也是  p 的充要条件,即如果        p⇔q,那么     p 与 q 互为充要条件.
(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.

           若  A⊆B,则  p 是 q 的充分条件,若       AB,则
           p 是 q 的充分不必要条件

           若  B⊆A,则  p 是 q 的必要条件,若       BA,则
           p 是 q 的必要不充分条件

                  若  A=B,则   p,q 互为充要条件

           若  A⊈B 且 B⊈A,则   p 既不是   q 的充分条件,也
           不是   q 的必要条件


其中  p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
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类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件
命题角度    1 在常见数学问题中的判断
例 1 下列各题中,p       是  q 的什么条件?
(1)p:a+b=0,q:a2+b2=0;
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形;
(3)p:x=1  或 x=2,q:x-1=      x-1;
(4)p:m<-1,q:x2-x-m=0      无实根;
(5)p:ab≠0,q:直线      ax+by+c=0   与两坐标轴都相交.


反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法:(1)定义法;(2)等价命题法,原命题与其逆
否命题是“同真同假”的等价命题,这一点在充要条件的判断中经常用到;(3)集合法,

P 是 Q 的充分不必要条件⇔集合          PQ,P  是  Q 的必要不充分条件⇔集合          PQ,P  是  Q 的充要
条件⇔集合     P=Q,P  是  Q 的既不充分也不必要条件⇔集合             P⊈Q,且   P⊉Q;(4)传递法,对于
较复杂的关系,常用⇒,⇐,⇏等符号进行传递,画出它们的综合结构图,可降低解题难度.
跟踪训练    1 指出下列各题中,p         是 q 的什么条件?
(1)p:ax2+ax+1>0  的解集是     R,q:00  满足题意;

当 a≠0  时,由Error!可得    00,
即(x-a-1)(x-2a)<0,
又∵a<1,∴a+1>2a,
∴B={x|2a
	
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