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2017_2018版高中数学第一章常用逻辑用语3.3全称命题与特称命题的否定学案北师大版选修2_1

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                    3.3   全称命题与特称命题的否定 

学习目标       1.理解全称命题与特称命题的否定的意义.2.会对全称命题与特称命题进行否
定.3.掌握全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题. 
 

                                             
知识点一     全称命题的否定 
思考    尝试写出下面全称命题的否定,并归纳写全称命题否定的方法. 
(1)所有矩形都是平行四边形; 
(2)每一个素数都是奇数; 
(3)任意  x∈R,x2-2x+1≥0. 
 
 
 
 
梳理    写全称命题的否定的方法:(1)更换量词,将全称量词换为存在量词;(2)将结论否定. 
全称命题的否定是______命题. 
知识点二     特称命题的否定 
思考    尝试写出下面特称命题的否定,并归纳写特称命题否定的方法. 
(1)有些实数的绝对值是正数; 
(2)某些平行四边形是菱形; 
(3)存在  x∈R,x2+1<0. 
 
 
 
 
梳理    写特称命题的否定的方法:(1)将存在量词改写为全称量词;(2)将结论否定. 
特称命题的否定是______命题. 

                                             
类型一     全称命题的否定 
例 1  写出下列全称命题的否定: 
(1)任何一个平行四边形的对边都平行; 

 
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台 

(2)数列:1,2,3,4,5   中的每一项都是偶数; 
(3)任意  a,b∈R,方程     ax=b  都有唯一解; 
(4)可以被   5 整除的整数,末位是        0. 
 
 
 
 
反思与感悟      全称命题的否定是特称命题,对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否
定. 
跟踪训练    1  写出下列全称命题的否定: 
(1)p:每一个四边形的四个顶点共圆; 
(2)p:所有自然数的平方都是正数; 
(3)p:任何实数     x 都是方程    5x-12=0  的根; 
(4)p:对任意实数      x,x2+1≥0. 
 
 
 
 
类型二     特称命题的否定 
例 2  写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假. 
(1)p:存在   x>1,使  x2-2x-3=0; 
(2)p:有些素数是奇数; 
(3)p:有些平行四边形不是矩形. 
 
 
 
 
反思与感悟      特称命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词. 
跟踪训练    2  写出下列特称命题的否定,并判断其否定的真假. 
(1)有些实数的绝对值是正数; 
(2)某些平行四边形是菱形; 

(3)存在  x,y∈Z,使得      2x+y=3. 
 
 

 
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台 

 
 
类型三     特称命题、全称命题的综合应用 
例 3  已知函数    f(x)=x2-2x+5. 
(1)是否存在实数      m,使不等式     m+f(x)>0 对于任意    x∈R  恒成立,并说明理由; 
(2)若存在一个实数       x,使不等式     m-f(x)>0 成立,求实数      m 的取值范围. 
 
 
 
 
反思与感悟      对于涉及是否存在的问题,通常总是假设存在,然后推出矛盾,或找出存在符

合条件的元素.一般地,对任意的实数               x,a>f(x)恒成立,只要      a>f(x)max;若存在一个实数       x,

使 a>f(x)成立,只需     a>f(x)min. 
跟踪训练    3  已知  f(x)=3ax2+6x-1(a∈R). 
(1)当 a=-3  时,求证:对任意        x∈R,都有     f(x)≤0; 
(2)如果对任意     x∈R,不等式     f(x)≤4x 恒成立,求实数       a 的取值范围. 
 
 
 
 


                                             

1.已知  a>0 且 a≠1,命题“存在       x>1,logax>0”的否定是(  ) 

A.存在  x≤1,logax>0                 B.存在  x>1,logax≤0 

C.任意  x≤1,logax>0                 D.任意  x>1,logax≤0 
2.设 x∈Z,集合    A 是奇数集,集合       B 是偶数集.若命题       p:任意   x∈A,2x∈B,则命题      p 的否
定是(  ) 
A.任意  x∈A,2x∉B                    B.任意  x∉A,2x∉B 
C.存在  x∉A,2x∈B                    D.存在  x∈A,2x∉B 
                              1
3.命题“对任意一个实数          x,都有       >0”的否定是____________________. 
                            2x+4

4.由命题“存在      x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,得实数              m 的取值范围是(a,+∞),则实
数 a=________. 
5.已知函数    f(x)=x2-mx+1,命题     p:“对任意     x∈R,都有   f(x)>0”,命题    q:“存在    x∈R,

 
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使 x2+m2<9”.若命题    p 的否定与    q 均为真命题,求实数        m 的取值范围. 
 
 
 
 

                                             
1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作:第一步,将全称量词改写成存在量词,即将
“任意”改为“存在”;第二步,将结论加以否定,如:将“≥”否定为“<”. 
2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作:第一步,将存在量词改写成全称量词;第二
步,将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省
略了全称或存在意义的量词,要注意判断. 
3.全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,因此在书写时,要注意量词以
及形式的变化,熟练掌握下列常见词语的否定形式: 
              原词语      否定词语          原词语            否定词语 
                是        不是        至少有一个           一个也没有 
               都是       不都是        至多有一个           至少有两个 
               大于       不大于        至少有   n 个     至多有(n-1)个 
               小于       不小于        至多有   n 个     至少有(n+1)个 
              任意的        某个            能              不能 
              所有的        某些           等于             不等于 
 
提醒:完成作业        第一章     §3   3.3 


 
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                                   答案精析 

问题导学 
知识点一 
思考    (1)将量词“所有”换为:“存在一个”然后将结论否定,即“不是平行四边形”,所
以原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”;用同样的方法可得(2)(3)的否定: 
(2)存在一个素数不是奇数; 
(3)存在  x∈R,x2-2x+1<0. 
梳理    (2)特称 
知识点二 
思考    (1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”,然后将结论“实数的绝对值是正
数”否定,即“实数的绝对值不是正数,于是得原命题的否定为“所有实数的绝对值都不是
正数”;同理可得(2)(3)的否定: 
(2)所有平行四边形都不是菱形; 
(3)任意  x∈R,x2+1≥0. 
梳理    (2)全称 
题型探究 
例 1  解   (1)其否定:存在一个平行四边形,它的对边不都平行. 
(2)其否定:数列:1,2,3,4,5       中至少有一项不是偶数. 
(3)其否定:存在      a,b∈R,使方程      ax=b 的解不唯一或不存在. 
(4)其否定:存在被       5 整除的整数,末位不是         0. 
跟踪训练    1  解   (1)其否定:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆. 
(2)其否定:有些自然数的平方不是正数. 
(3)其否定:存在实数        x 不是方程   5x-12=0   的根. 
(4)其否定:存在实数        x,使得   x2+1<0. 
例 2  解   (1)其否定:任意      x>1,x2-2x-3≠0(假). 
(2)其否定:所有的素数都不是奇数(假). 
(3) 其否定:所有的平行四边形都是矩形(假). 
跟踪训练    2  解   (1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数
的绝对值都不是正数”.为假命题. 
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由
于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题. 

(3)命题的否定是“任意         x,y∈Z,    2x+y≠3”.当    x=0,y=3    时,   2x+y=3,因此命题

 
                  中国现代教育网     www.30edu.com  全国最大教师交流平台 

的否定是假命题. 
例 3  解   (1)不等式   m+f(x)>0 可化为    m>-f(x), 
即 m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 
要使  m>-(x-1)2-4   对于任意    x∈R 恒成立,只需       m>-4 即可. 
故存在实数     m,使不等式     m+f(x)>0 对于任意     x∈R 恒成立,此时,只需         m>-4. 
(2)不等式    m-f(x)>0  可化为    m>f(x),若存在一个实数         x,使不等式      m>f(x)成立,只需

m>f(x)min. 
又 f(x)=(x-1)2+4, 

∴f(x)min=4,∴m>4. 
∴所求实数     m 的取值范围是(4,+∞). 
跟踪训练    3  (1)证明    当 a=-3  时, 
f(x)=-9x2+6x-1, 
∵Δ=36-4×(-9)×(-1)=0, 
∴对任意    x∈R,都有    f(x)≤0. 
(2)解   ∵f(x)≤4x  恒成立, 
∴3ax2+2x-1≤0   恒成立, 

  a<0,      a<0,
∴          即               
  Δ≤0,      4+12a≤0, 

         1
解得  a≤-   , 
         3

                            1
即实数   a 的取值范围是(-∞,-          ]. 
                            3

当堂训练 
1.D  2.D  
3.存在一个实数      x,使得   2x+4≤0    4.1 
5.解   由于命题    p:“对任意     x∈R,都有    f(x)>0”,所以命题      p 的否定为“不等式        f(x)≤0
在实数集上有解”,故         Δ=m2-4≥0,得    m≤-2  或 m≥2.又命题    q:“存在    x∈R,使  x2+m2<9”,
即不等式    x2<9-m2 在实数集上有解,故        9-m2>0,所以-3
	
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